Родилась в 1926 году в г. Одессе, где жила до сентября 1941 года. В начале войны вместе с матерью эвакуировалась в Сталинградскую область, а оттуда в сентябре 1942 года приехала в г. Серов. Здесь она прожила всю свою сознательную жизнь и считает Серов родным городом.
В 1942-45 годах училась в Серовском педагогическом училище. Свою педагогическую деятельность начала в качестве учительницы начальных классов в школе № 9. В 1949 году заочно с отличием закончила исторический факультет Свердловского педагогического института и приступила к работе в школе № 22 в должности учителя истории, а затем заместителя директора по учебно-воспитательной работе. В 1960-62 годах вела курс педагогики в специальных педагогических классах. За успехи в учебно-воспитательной работе была награждена значком "Отличник народного просвещения".
С 1962 года перешла на работу заместителем директора по учебной работе в Серовское педагогическое училище. За большой и плодотворный труд в 1966 году Фаина Григорьевна удостоена ордена "Знак Почета".
В 1968 году была назначена директором школы № 20. В эти годы начался процесс перевода школ на новые программы. По заданию Свердловского облоно и Академии педагогических наук Ф.Г.Гойхман принимала участие в рецензировании новых учебных пособий, в анализе новых программ, руководила эксперементальной работой учителей. Школа работала также и по проблемам научной организации педагогического труда, по внедрению новых технологий в учебный процесс. На базе школы № 20 проводились областные семинары директоров.
В 1977 году средняя школа № 20 за успехи в учебно-воспитательной работе была награждена Дипломом Свердловского обкома КПСС, облисполкома и обкома ВЛКСМ. В декабре этого же года Ф.Г.Гойхман присвоили звание "Заслуженный учитель школы РСФСР".
В 1980 году она перешла на преподавательскую работу в Серовский общетехнический факультет УПИ, откуда и ушла на пенсию с должности доцента кафедры философии.
Вся трудовая деятельность Фаины Григорьевны неразрывно связана с общественной работой. Лектор общества "Знание", пропагандист системы партийной учебы, руководитель городского педагогического общества, депутат городского Совета - везде она работала заинтересованно, активно и компетентно. Ее вклад в развитие педагогических коллективов города, в общественную жизнь высоко оценен земляками - в 1997 году ей присвоено звание "Почетный гражданин города Серова".